백준(BAEKJOON): 골드바흐의 추측(9020번)

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문제

1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다. (4 ≤ n ≤ 10,000)

출력

각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

예제 입력 1

3
8
10
16

예제 출력 1

3 5
5 5
5 11

해설

복잡한 거 같지만 이전의 소수 확인 코드를 이용하면 쉽게 접근할 수 있다. 해결을 위해서는 아래의 사항을 해결해야 한다.

1. 임의의 자연수 n이 소수인자 판별할 수 있어야 한다.
2. 임의의 자연수 input_num의 골드바흐 파티션을 찾아야 한다.
3. 복수의 골드바흐 파티션이 있는 경우 두 소수의 차이가 가장 작은 경우를 출력해야 한다.

첫 번째는 이전부터 활용하고 있는 CheckPrime(int n)함수를 재활용한다.

int CheckPrime(int n)
{
    int i = 2;
    if (n == 1) return 0;

    while (1) {
        if ( i <= sqrt(n) ) {
            if ( n % i == 0 ) return 0;
            else i++;
        } else {
            return 1;
        }
    }
}

두 번째는 골드바흐 파티션인 두 소수를 하나의 변수로 표현하는 것어로 해결할 수 있다. 말로 하니 어려운데, 자연수 n(n > 2, 짝수)의 골드바흐은 소수 a, input_num - a가 짝이 된다. 따라서 소수 a를 찾고 그 짝이 되는 input_num - a이 소수인지 확인하면 된다. 즉 임의의 수 j가 소수이면, 그 짝이 되는 input_num - j가 소수인지 확인하여 통과하면 골드바흐 파티션인 것이다. 따라서 두 소수 j와 input_num - j를 출력한다.

            if (CheckPrime(j)) {
                if (CheckPrime(input_num - j) ) {
                    printf("%d %d\n", j, input_num- j);
                    break;
                }    

세 번째는 귀찮다. 복수의 골드바흐 파티션이 있는 경우 각 경우의 소수 짝을 구한다. 그 다음 각 소수 짝의 차를 구한다. 그 차 중 최솟값인 경우를 찾아 출력한다. 이렇게 풀어쓰니 더 귀찮아진다. 그래서 발상의 전환이 필요하다. 임의의 수 n의 골든바흐 파티션의 짝이 될 소수는 n / 2를 넘을 수 없다. 그 이상부터는 짝이 되는 수가 작아지기 때문에 n / 2부터 1씩 감산하면서 그 짝이 되는 소수를 찾는다. 이 방식으로 골드바흐 파티션을 찾게 되면 첫 번째 골드바흐 파티션이 두 소수의 차가 가장 작은 경우가 되므로 가장 먼저 발견한 소수 짝을 출력하면 끝이다.
input_num이 10인 경우를 생각해 보자.

input_num = 10

a       input_num - a
2       8                   x
3       7                   o
5       5                   o

첫 번째 소수(a)가 될 수 있는 경우는 2, 3, 5이다. 짝이 되는 수가 소수여서 골드바흐 파티션이 되는 경우는 (3, 7), (5, 5)이다. 이렇게 순차적으로 접근하면 두 골드바흐 파티션의 각각의 차인 4와 0을 구하고 그 중 최솟값이 0의 짝 (5, 5)를 출력해야 한다. 하지만 input_num / 2부터 접근하면 두 소수의 짝이 최소인 (5, 5)를 바로 찾을 수 있게 된다.
이것을 코드로 표현하면 아래와 같은 루프가 만들어진다.

        for (j = input_num / 2; j > 1; --j) {
            if (CheckPrime(j)) {
                if (CheckPrime(input_num - j) ) {
                    printf("%d %d\n", j, input_num- j);
                    break;
                }    
            }    
        }

위 세 기지를 고려해서 아래와 같이 코드를 완성하였다.

소스코드: c

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int CheckPrime(int n);
/** 소수이면 1을, 소수가 아니면 0을 반환한다. */

int main(int argc, char *argv[])
{
    int test_case, i, j;
    int input_num;
    scanf("%d", &test_case);

    for (i = 0; i < test_case; ++i) {
        scanf("%d", &input_num);
        /** 골드바흐 파티션 중 두 소수의 차이가 가장 작은 경우는 파티션이 될 수 있는 수 중 가장 큰 수(input_num/2)부터 차례대로 확인해서 가장 먼저 나온 골드바흐 파티션 짝이다. 따라서 for 루트를 input/2에서 시작한다. **/
        for (j = input_num / 2; j > 1; --j) {
            if (CheckPrime(j)) {
                if (CheckPrime(input_num - j) ) {
                    printf("%d %d\n", j, input_num- j);
                    break;
                }    
            }    
        }
    }

    return 0;
}

int CheckPrime(int n)
{
    int i = 2;
    if (n == 1) return 0;

    while (1) {
        if ( i <= sqrt(n) ) {
            if ( n % i == 0 ) return 0;
            else i++;
        } else {
            return 1;
        }
    }
}