백준(BAEKJOON): Fly me to the Alpha Centauri(1011번)

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문제

우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.

그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )

김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.

김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. (0 ≤ x < y < 2^31)

출력

각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 회수를 출력한다.

예제 입력 1

3
0 3
1 5
45 50

예제 출력 1

3
3
4

해설

이 문제도 시간이 꽤 걸렸다. 풀이에 소요된 시간 중에서 문제의 규칙을 찾는 데 오랜 시간을 투자해야 했다. 이런 문제를 풀고 있자면 코딩이라는 게 결국은 현실 세계의 문제 해결 능력과 직결되는 게 아닌가 싶다. 결국 문제를 풀 수 있어야 이를 문법에 맞게 코딩할 수 있기 때문이다. 이런 점에서 코드를 다른 사람에게 보이는 게 참 민망하다. 내 문제해결 능력을, 수학적으로 깔끔하게 정리되지 않은 머릿속을 환히 내보이는 듯한 부끄러움 때문이다.

별로 똑똑하지 못해 먼저 문제에서 제시한 방법대로 이동 거리당 최소 이동 횟수를 차근차근 만들어 보았다.

이동거리	최소 이동 횟수	이동 방식	제곱근(?)
1	1	1	1
2	2	11
3	3	111
4	3	121	2
5	4	1211
6	4	1221
7	5	12211
8	5	12221
9	5	12321	3
10	6	123211
11	6	123221
12	6	123321
13	7	1233111
14	7	1233211
15	7	1233221
16	7	1234321	4
17	8	12343211
18	8	12343221
19	8	12343321
20	8	12344321
21	9	123443211
22	9	123443221
23	9	123444311
24	9	123444321
25	9	123454321	5

 

문제의 이동 방식대로라면 n회 이동을 하게 되면 한번에 최대 n 거리만큼 이동할 수 있다.

                 0
1회:             1
2회:     0       1        2
3회:     1     0 1 2    1 2 3

이동 횟수를 거듭할수록 최대 이동 거리는 1씩 증가할 수 있다. 따라서 6만큼 이동하기 위해서는 3회를 1, 2, 3 거리로 이동할 수 있다. 이렇게 이동할 경우 위 표와 달리 최소 이동 횟수가 3인 것이다.
그렇기에 위 표와 같은 방식으로 최소 이동 횟수가 결정된다는 말에 의아해 할 수 있겠다. 문제에서 마지막에는 1만큼 이동을 해야 한다는 제한을 두었기 때문이다. 마지막 이동에서 1만큼 이동하기 위해서는 이동 거리가 차츰 증가하다가 중간 횟수부터는 감소해야만 한다. 위 표에서 거리가 16인 경우에는 최소 이동 횟수는 7회로 각 이동 때 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1씩 이동해야 하는 것이다.

이제 이 표를 시간을 두고 천천히 바라보자. 매직아이가 되어 뭔가 규칙이 떠오를 때까지 보는 거다. 포기하지 말고!

내가 찾은 규칙은 아래와 같다. 수학적 소양이 높아 이를 수식으로 간단명료하게 적을 수 있으면 좋겠지만 그냥 문장으로 풀었다.

이동 거리의 제곱근에 집중해 보자.

규칙 1: (제곱근) n일 때 최소 거리는 직전 제곱근 n의 최소 이동 횟수 + 2

제곱근 1의 최소 이동 횟수는 1
제곱근 2의 최소 이동 횟수는 1 + 2 = 3
제곱근 3의 최소 이동 횟수는 3 + 2 = 5
제곱근 4의 최소 이동 횟수는 5 + 2 = 7
제곱근 5의 최소 이동 횟수는 7 + 2 = 9

규칙 2

이동 거리를 넘는 가장 작은 제곱근 n이 있을 때,

• n * n, n * n - 1, n * n - 2, … n * n - n까지는 n의 최소 이동거리와 동일
• 그보다 작을 때는 n의 최소 거리에서 -1임.

이동 거리가 11이라면 이를 넘는 가장 작은 제곱근 n은 4이다. 규칙 1에 따라 제곱근 4일 때의 최소 거리는 7회가 된다. 그런데 위 표를 보면 제곱근 4의 이동 거리 16을 포함하여 n - 1까지 뺀 13까지는 최소 이동 횟수가 동일함을 알 수 있다. 13보다 작은 10 ~ 12는 최소 이동 횟수가 1 줄어든 6회인 것이다.
즉, 11 < 16 - ( 4 - 1 )이므로 7 - 1 = 6으로 최소 이동 거리가 6회가 된다

문제에 제시된 외 추가 입출력 예시는 아래와 같다.

추가 테스트

입력:
15
0 15
20 23
0 2147483647
1 2147483647
2 2147483647
41706 2147483647
41707 2147483647
2147483643 2147483647
2147483644 2147483647
2147483645 2147483647
2147483646 2147483647
0 1
0 2
0 3
0 4

출력:
7
3
92681
92681
92681
92681
92680
3
3
2
1
1
2
3
3

두 규칙을 코드로 바꾸면 아래의 코드가 된다. 처음에 변수를 int형으로 설정했더니 시간 초과가 났다. 문제를 다시 자세히 보자. 입력되는 수의 범위가 2의 31승까지다. 연산에 쓰이는 변수를 long형으로 바꾸자 바로 코드가 통과되었다.

소스코드:C

#include <stdio.h>
int MinimalMove(void);
int main(int argc, char *argv[])
{
    int test_case, i;

    scanf("%d", &test_case);
    for (i = 0; i < test_case; ++i) {
        printf("%d\n", MinimalMove());
    }
    return 0;
}


int MinimalMove(void)
{
    int start, end, dist;
    long n = 1, min_move = 1, double_n;
    scanf("%ld %ld", &start, &end);
    dist = end - start;
    while (1) {
        double_n = n * n;
        if (dist == 1) {
            break;
        } else if (double_n > dist) {
            if (dist >= double_n - (n - 1)) {
                break;
            } else {
                min_move -= 1;
                break;
            }
        } else if (double_n == dist){
            break;
        }
        n++;
        min_move += 2;
    }
    return min_move;
}